РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 562759 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 2021 года. Досрочная волна;

ЕГЭ−2025. Досрочная волна, резервный день 17.04.2025. Разные города. Вариант Профиматики.

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Область определения неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 x плюс 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3x правая круглая скобка конец дроби умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: логарифм по основанию 3 x плюс 4 конец дроби минус 1 правая круглая скобка \leqslant0.$

Решение. Пусть $t= логарифм по основанию 3 x плюс 1,$ тогда

$дробь: числитель: 1, знаменатель: t плюс 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: t плюс 3 конец дроби минус 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: t плюс 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби умножить на дробь: числитель: минус t минус 1, знаменатель: t плюс 3 конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t минус 2t минус 2, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: минус t минус 2, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений t больше 0, минус 3 меньше t\leqslant минус 2. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: t плюс 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: t плюс 3 конец дроби минус 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: t плюс 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби умножить на дробь: числитель: минус t минус 1, знаменатель: t плюс 3 конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: t минус 2t минус 2, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус t минус 2, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений t больше 0, минус 3 меньше t\leqslant минус 2. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений логарифм по основанию 3 x плюс 1 больше 0, минус 3 меньше логарифм по основанию 3 x плюс 1\leqslant минус 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 3 x больше минус 1, минус 4 меньше логарифм по основанию 3 x\leqslant минус 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ,3 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка меньше x\leqslant3 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 81 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 27. конец совокупности .$ $совокупность выражений логарифм по основанию 3 x плюс 1 больше 0, минус 3 меньше логарифм по основанию 3 x плюс 1\leqslant минус 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 3 x больше минус 1, минус 4 меньше логарифм по основанию 3 x\leqslant минус 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x больше 3 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ,3 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка меньше x\leqslant3 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 81 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 27. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 27 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

562759

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 27 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$