РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 562221 Добавить в вариант

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки, Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Сторона квадрата на 3 см длиннее ширины прямоугольника, площади этих фигур равны, а все длины сторон  — целые числа.

а)  Может ли ширина прямоугольника быть равной 8?

б)  Может ли длина прямоугольника быть равной 16?

в)  Найдите все возможные варианты таких пар прямоугольников и квадратов. В ответе укажите длины их сторон.

Решение. Пусть сторона квадрата равна a, тогда ширина прямоугольника равна a − 3, а длина его равна $дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: a минус 3 конец дроби =a плюс 3 плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: a минус 3 конец дроби .$

а)  Если a − 3  =  8, то $a плюс 3 плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: a минус 3 конец дроби =11 плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби$   — нецелое число.

б)  Решая уравнение $дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: a минус 3 конец дроби =16,$ найдем подходящее a  =  4 или a  =  12.

в)  Поскольку $a плюс 3 плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: a минус 3 конец дроби$ должно быть целым, 9 должно делиться на a − 3, причем a − 3 должно быть положительным (это ширина прямоугольника). Значит, a − 3  =  1, 3, 9, то есть a  =  4, 6, 12. Получаем такие варианты:

квадрат 4 × 4 и прямоугольник 1 × 16;

квадрат 6 × 6 и прямоугольник 3 × 12;

квадрат 12 × 12 и прямоугольник 9 × 16.

Ответ: а) нет; б) да; в) 9 × 16 и 12 × 12; 3 × 12 и 6 × 6; 1 × 16 и 4 × 4.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) нет; б) да; в) 9 × 16 и 12 × 12; 3 × 12 и 6 × 6; 1 × 16 и 4 × 4.

562221

а) нет; б) да; в) 9 × 16 и 12 × 12; 3 × 12 и 6 × 6; 1 × 16 и 4 × 4.

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки, Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562221	а) нет; б) да; в) 9 × 16 и 12 × 12; 3 × 12 и 6 × 6; 1 × 16 и 4 × 4.