РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Издательство на выставку привезло несколько книг для продажи (каждую книгу привезли в единственном экземпляре). Цена каждой книги  — натуральное число рублей. Если цена книги меньше 80 рублей, на неё приклеивают бирку «выгодно». Однако до открытия выставки цену каждой книги увеличили на 5 рублей, из-за чего количество книг с бирками «выгодно» уменьшилось.

а)  Могла ли уменьшиться средняя цена книг с биркой «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг с биркой «выгодно» до открытия выставки?

б)  Могла ли уменьшиться средняя цена книг без бирки «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг без бирки «выгодно» до открытия выставки?

в)  Известно, что первоначально средняя цена всех книг составляла 103 рублей, средняя цена книг с биркой «выгодно» составляла 67 рублей, а средняя цена книг без бирки  — 157 рублей. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 70 рублей, а средняя цена книг без бирки  — 146 рублей. При каком наименьшем количестве книг такое возможно?

Решение. а,б) Если изначально были три книги с ценами 5, 75 и 995 рублей, то после повышения цен они стали стоить 10, 80, 1000 рублей. Тогда средняя цена выгодных книг стала 10 (а была $дробь: числитель: 5 плюс 75, знаменатель: 2 конец дроби =40$ ), а средняя цена прочих стала $дробь: числитель: 80 плюс 1000, знаменатель: 2 конец дроби =540$ (а была 995).

в)  Пусть было x книг ценой 80 рублей и выше, y книг ценой от 75 до 80 рублей и z книг ценой менее 75 рублей. Книги из второй группы при повышении цены лишаются бирки «выгодно». Тогда суммарная цена всех книг составляла 103 · (x + y + z), суммарная цена выгодных книг  — 67 · (y + z), суммарная цена книг первой группы  — 157x, откуда

$103 левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка =157x плюс 67 левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка равносильно 36 левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка =54x равносильно 2 левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка =3x равносильно x плюс y плюс z= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби x.$ $103 левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка =157x плюс 67 левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка равносильно 36 левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка =54x равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка =3x равносильно x плюс y плюс z= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби x.$ $103 левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка =157x плюс 67 левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 36 левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка =54x равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка =3x равносильно x плюс y плюс z= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби x.$

Значит, общее число книг кратно 5. После повышения суммарная цена составляла 108 · (x + y + z) (каждая книга подорожала на 5 рублей). При этом суммарная цена книг третьей группы составила 70z, а суммарная цена прочих  — 146 · (x + y), откуда

$108 левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка =146 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка плюс 70z равносильно 38z=38 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка равносильно z=x плюс y равносильно x плюс y плюс z=2 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка .$ $108 левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка =146 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка плюс 70z равносильно 38z=38 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка равносильно$
$равносильно z=x плюс y равносильно x плюс y плюс z=2 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка .$ $108 левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка =146 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка плюс 70z равносильно$
$равносильно 38z=38 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка равносильно$
$равносильно z=x плюс y равносильно x плюс y плюс z=2 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка .$

Значит, общее число книг кратно 2. Поэтому общее число книг не может быть меньше 10. 10 книг быть может  — пусть y  =  1, x  =  4, z  =  5, причем изначально были 4 книги по 157 рублей, 5 книг по 65 рублей и одна книга за 77 рублей, тогда все условия задачи выполнены.

Ответ: а) да; б) да; в) 10.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562220	а) да; б) да; в) 10.

Ключ