РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 562190 Добавить в вариант

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Методы алгебры: Использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения

Финансовая математика. Задачи на оптимальный выбор

Бригаду из 30 рабочих нужно распределить по двум объектам. Если на первом объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки 200p  рублей. Если на втором объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки (50p + 300) руб. Как нужно распределить рабочих по объектам, чтобы их суммарная суточная зарплата оказалась наименьшей? Сколько рублей в этом случае придётся заплатить за сутки всем рабочим?

Решение. Составим таблицу по данным задачи.

	Количество рабочих	Заработная плата (руб./⁠сут) на 1 рабочего
Первый объект	p	$200p$
Второй объект	30 − p	$50 левая круглая скобка 30 минус p правая круглая скобка плюс 300$
Всего:	30	$200p в квадрате плюс левая круглая скобка 50 левая круглая скобка 30 минус p правая круглая скобка плюс 300 правая круглая скобка \times$ $\times левая круглая скобка 30 минус p правая круглая скобка = 250p в квадрате минус 3300p плюс 54000$ $200p в квадрате плюс левая круглая скобка 50 левая круглая скобка 30 минус p правая круглая скобка плюс 300 правая круглая скобка \times$ $\times левая круглая скобка 30 минус p правая круглая скобка = 250p в квадрате минус$ $минус 3300p плюс 54000$

Пусть $f левая круглая скобка p правая круглая скобка = 250p в квадрате минус 3300p плюс 54 000.$ Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке $p = минус дробь: числитель: b, знаменатель: конец дроби 2a = дробь: числитель: 33, знаменатель: 5 конец дроби .$ По условию p  — это натуральное число. Найдем и сравним значения функции при p  =  6 и p  =  7:

$f левая круглая скобка 6 правая круглая скобка = 250 умножить на левая круглая скобка 6 правая круглая скобка в квадрате минус 3300 умножить на левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 54000 = 43200,$ $f левая круглая скобка 6 правая круглая скобка = 250 умножить на левая круглая скобка 6 правая круглая скобка в квадрате минус 3300 умножить на левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 54000 =$
$= 43200,$ $f левая круглая скобка 6 правая круглая скобка =$
$= 250 умножить на левая круглая скобка 6 правая круглая скобка в квадрате минус 3300 умножить на левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 54000 =$
$= 43200,$

$f левая круглая скобка 7 правая круглая скобка = 250 умножить на левая круглая скобка 7 правая круглая скобка в квадрате минус 3300 умножить на левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс 54000 = 43150.$ $f левая круглая скобка 7 правая круглая скобка = 250 умножить на левая круглая скобка 7 правая круглая скобка в квадрате минус 3300 умножить на левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс 54000 =$
$= 43150.$ $f левая круглая скобка 7 правая круглая скобка =$
$= 250 умножить на левая круглая скобка 7 правая круглая скобка в квадрате минус 3300 умножить на левая круглая скобка 7 правая круглая скобка плюс 54000 =$
$= 43150.$

Наименьшая суточная зарплата всем рабочим, достигается при p  =  7. Следовательно, на первый объект следует отправить 7 рабочих, а на второй  — 23 рабочих.

Ответ: 1-⁠й объект  — 7 человек, 2-⁠й объект  — 23 человека; 43 150 рублей.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: 1-⁠й объект  — 7 человек, 2-⁠й объект  — 23 человека; 43 150 рублей.

562190

1-⁠й объект  — 7 человек, 2-⁠й объект  — 23 человека; 43 150 рублей.

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Методы алгебры: Использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562190	1-⁠й объект  — 7 человек, 2-⁠й объект  — 23 человека; 43 150 рублей.