РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 562188 Добавить в вариант

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства смешанного типа, Область определения неравенства, Показательные уравнения и неравенства, Сравнение чисел

Методы алгебры: Введение замены

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство $30 умножить на 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7x минус x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 90.$

Решение. Пусть $a = 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ $b = 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка .$ Неравенство записывается в виде $30a плюс 3b минус ab больше или равно 90,$ откуда $левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 30 правая круглая скобка меньше или равно 0.$ Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

$левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 30 правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Заметим, что область определения неравенства  — интервал (0; 7), а потому на ОДЗ

$3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка меньше 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 правая круглая скобка меньше 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 8 правая круглая скобка = 3 в кубе = 27.$

Это означает, что при всех допустимых значениях х второй множитель отрицателен, поэтому на него можно разделить, изменив знак неравенства на противоположный. Получим:

$3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 3 \underset 3 больше 1 \mathop равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка } больше или равно 1 \underset 2 больше 1 \mathop равносильно 7 минус x больше или равно 2 равносильно x меньше или равно 5.$

Учитывая ОДЗ, получаем ответ: $0 меньше x меньше или равно 5.$

Ответ: (0; 5].

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: (0; 5].

562188

(0; 5].

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562188	(0; 5].