РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 562177 Добавить в вариант

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства смешанного типа, Область определения неравенства, Показательные уравнения и неравенства, Сравнение чисел

Методы алгебры: Введение замены

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство $9 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x минус x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 18.$

Решение. Область определения неравенства представляет собой интервал (0; 5). На области определения

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5x минус x в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка ,$

а потому левая часть неравенства принимает вид

$9 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка = 9 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка .$ $9 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка = 9 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс$
$плюс 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка .$ $9 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус$
$минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка = 9 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс$
$плюс 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Заметим, что

$9a плюс 2b минус ab меньше или равно 18 равносильно 9 левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка плюс b левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус b правая круглая скобка меньше или равно 0,$

а потому для исходного неравенства получаем:

$левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0$

На области определения второй множитель положителен:

$2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 5 правая круглая скобка меньше 2 в квадрате = 4 меньше 9,$

поэтому на него можно разделить, не меняя знака неравенства. Получаем:

$2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 меньше или равно 0 равносильно 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 2 \underset2 больше 1\mathop равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка } меньше или равно 1 \underset3 больше 1\mathop равносильно 0 меньше 5 минус x меньше или равно 3 равносильно 2 меньше или равно x меньше 5.$ $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 меньше или равно 0 равносильно 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 2 \underset2 больше 1\mathop равносильно$
$\underset2 больше 1\mathop равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка } меньше или равно 1 \underset3 больше 1\mathop равносильно 0 меньше 5 минус x меньше или равно 3 равносильно 2 меньше или равно x меньше 5.$

Ответ: [2; 5).

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: [2; 5).

562177

[2; 5).

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562177	[2; 5).