РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 562043 Добавить в вариант

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции, Неравенства смешанного типа, Область определения неравенства, Показательные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Замена переменной, Метод интервалов

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство $левая круглая скобка 5 умножить на 0,2 в степени левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка минус 0,2 умножить на 5 в степени левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка \log в квадрате _0,2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка правая круглая скобка больше 0.$

Решение. Преобразуем неравенство:

$левая круглая скобка 5 умножить на 0,2 в степени левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка минус 0,2 умножить на 5 в степени левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка \log в квадрате _0,2 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка правая круглая скобка больше 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус 5 в степени x правая круглая скобка левая круглая скобка \log в квадрате _5 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка правая круглая скобка больше 0.$

Область определения неравенства задается условием $x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Найдем нули множителей:

$5 в степени левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка = 5 в степени x равносильно 1 минус x = x равносильно x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

$логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка = 0, логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка = 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x = дробь: числитель: 49, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$ $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка = 0, логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка = 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x = дробь: числитель: 49, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Применим метод интервалов, получим ответ: $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ или $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 49, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 49, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

562043

$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 49, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Методы алгебры: Замена переменной, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562043	$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 49, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$