РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 562035 Добавить в вариант

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства высших степеней, Область определения неравенства

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Логарифмические неравенства, разные задачи

Решите неравенство $\lg в степени 4 левая круглая скобка x в квадрате минус 26 правая круглая скобка в степени 4 минус 4\lg в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус 26 правая круглая скобка в квадрате \leqslant240.$

Решение. Преобразуем неравенство следующим образом:

$\lg в степени 4 левая круглая скобка x в квадрате минус 26 правая круглая скобка в степени 4 минус 4\lg в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус 26 правая круглая скобка в квадрате \leqslant240 равносильно$
$равносильно 256\lg в степени 4 |x в квадрате минус 26| минус 16\lg в квадрате |x в квадрате минус 26| меньше или равно 240 равносильно$

$равносильно 16\lg в степени 4 |x в квадрате минус 26| минус \lg в квадрате |x в квадрате минус 26| минус 15 меньше или равно 0.$

Пусть $t = \lg в квадрате |x в квадрате минус 26|,$ тогда

$16t в квадрате минус t минус 15 меньше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 16 конец дроби меньше или равно t меньше или равно 1 равносильно 0 меньше или равно t меньше или равно 1.$ $16t в квадрате минус t минус 15 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 16 конец дроби меньше или равно t меньше или равно 1 равносильно 0 меньше или равно t меньше или равно 1.$

Вернемся к исходной переменной. Имеем:

откуда получаем:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно |x в квадрате минус 26| меньше или равно 10 равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно x в квадрате минус 26 меньше или равно 10, минус 10 меньше или равно x в квадрате минус 26 меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 26,1 меньше или равно x в квадрате меньше или равно 36, 16 меньше или равно x в квадрате меньше или равно 25,9 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений корень из: начало аргумента: 26,1 конец аргумента меньше или равно |x| меньше или равно 6, 4 меньше или равно |x| меньше или равно корень из: начало аргумента: 25,9 конец аргумента конец совокупности . равносильно совокупность выражений корень из: начало аргумента: 26,1 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно 6, минус 6 меньше или равно x меньше или равно минус корень из: начало аргумента: 26,1 конец аргумента , 4 меньше или равно x меньше или равно корень из: начало аргумента: 25,9 конец аргумента , минус корень из: начало аргумента: 25,9 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно минус 4. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно |x в квадрате минус 26| меньше или равно 10 равносильно$
$равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно x в квадрате минус 26 меньше или равно 10, минус 10 меньше или равно x в квадрате минус 26 меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 26,1 меньше или равно x в квадрате меньше или равно 36, 16 меньше или равно x в квадрате меньше или равно 25,9 конец совокупности . равносильно совокупность выражений корень из: начало аргумента: 26,1 конец аргумента меньше или равно |x| меньше или равно 6, 4 меньше или равно |x| меньше или равно корень из: начало аргумента: 25,9 конец аргумента конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений корень из: начало аргумента: 26,1 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно 6, минус 6 меньше или равно x меньше или равно минус корень из: начало аргумента: 26,1 конец аргумента , 4 меньше или равно x меньше или равно корень из: начало аргумента: 25,9 конец аргумента , минус корень из: начало аргумента: 25,9 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно минус 4. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно |x в квадрате минус 26| меньше или равно 10 равносильно$
$равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно x в квадрате минус 26 меньше или равно 10, минус 10 меньше или равно x в квадрате минус 26 меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 26,1 меньше или равно x в квадрате меньше или равно 36, 16 меньше или равно x в квадрате меньше или равно 25,9 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений корень из: начало аргумента: 26,1 конец аргумента меньше или равно |x| меньше или равно 6, 4 меньше или равно |x| меньше или равно корень из: начало аргумента: 25,9 конец аргумента конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений корень из: начало аргумента: 26,1 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно 6, минус 6 меньше или равно x меньше или равно минус корень из: начало аргумента: 26,1 конец аргумента , 4 меньше или равно x меньше или равно корень из: начало аргумента: 25,9 конец аргумента , минус корень из: начало аргумента: 25,9 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно минус 4. конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 6; минус корень из: начало аргумента: 26,1 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус корень из: начало аргумента: 25,9 конец аргумента ; минус$
$минус 4 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4; корень из: начало аргумента: 25,9 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка корень из: начало аргумента: 26,1 конец аргумента ;6 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

562035

$левая квадратная скобка минус 6; минус корень из: начало аргумента: 26,1 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус корень из: начало аргумента: 25,9 конец аргумента ; минус$
$минус 4 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4; корень из: начало аргумента: 25,9 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка корень из: начало аргумента: 26,1 конец аргумента ;6 правая квадратная скобка .$

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	562035	$левая квадратная скобка минус 6; минус корень из: начало аргумента: 26,1 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус корень из: начало аргумента: 25,9 конец аргумента ; минус$ $минус 4 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4; корень из: начало аргумента: 25,9 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка корень из: начало аргумента: 26,1 конец аргумента ;6 правая квадратная скобка .$