РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 561855 Добавить в вариант

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Показательные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка x минус 0,5 правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: 9 умножить на 4 в степени x минус 16 в степени левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка минус 2 конец дроби меньше или равно 0,5.$

Решение. Преобразуем неравенство:

$дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка x минус 0,5 правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: 9 умножить на 4 в степени x минус 16 в степени левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка минус 2 конец дроби меньше или равно 0,5 равносильно дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 в степени x плюс 1, знаменатель: 9 умножить на 4 в степени x минус 4 умножить на 4 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 4 в степени x плюс 2, знаменатель: 9 умножить на 4 в степени x минус 4 умножить на 4 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 2 конец дроби меньше или равно 1.$ $дробь: числитель: 4 в степени левая круглая скобка x минус 0,5 правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: 9 умножить на 4 в степени x минус 16 в степени левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка минус 2 конец дроби меньше или равно 0,5 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 в степени x плюс 1, знаменатель: 9 умножить на 4 в степени x минус 4 умножить на 4 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 4 в степени x плюс 2, знаменатель: 9 умножить на 4 в степени x минус 4 умножить на 4 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 2 конец дроби меньше или равно 1.$

Произведем замену  — пусть $t = 4 в степени x ,$ тогда

$дробь: числитель: t плюс 2, знаменатель: 9t минус 4t в квадрате минус 2 конец дроби \leqslant1 равносильно дробь: числитель: t плюс 2 минус 9t плюс 4t в квадрате плюс 2, знаменатель: 9t минус 4t в квадрате минус 2 конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 4 умножить на левая круглая скобка t в квадрате минус 2t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: минус 4t в квадрате плюс 9t минус 2 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: минус 4t в квадрате плюс 9t минус 2 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,t больше 2,t = 1. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t плюс 2, знаменатель: 9t минус 4t в квадрате минус 2 конец дроби \leqslant1 равносильно дробь: числитель: t плюс 2 минус 9t плюс 4t в квадрате плюс 2, знаменатель: 9t минус 4t в квадрате минус 2 конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 4 умножить на левая круглая скобка t в квадрате минус 2t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: минус 4t в квадрате плюс 9t минус 2 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: минус 4t в квадрате плюс 9t минус 2 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,t больше 2,t = 1. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной. Имеем:

$совокупность выражений 4 в степени x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,4 в степени x больше 2,4 в степени x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше минус 1,x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x = 0. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 0,5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

561855

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 0,5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Показательные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	561855	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 0,5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$