РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 561853 Добавить в вариант

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Область определения уравнения, Сравнение чисел

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.1 Квадратные уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Уравнения. Логарифмические уравнения

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус x правая круглая скобка правая круглая скобка =0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2,5; −1,5].

Решение. а)  Запишем исходное уравнение в виде:

$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус x правая круглая скобка правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате плюс 2x минус 1 = 0,x в квадрате минус 3 больше 0, корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус x больше 0, конец системы логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус x правая круглая скобка = 0 конец совокупности . равносильно$ $левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус x правая круглая скобка правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате плюс 2x минус 1 = 0,x в квадрате минус 3 больше 0, корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус x больше 0, конец системы логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус x правая круглая скобка = 0 конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений система выражений x = минус 1 \pm корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x меньше минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , конец системы логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус x правая круглая скобка конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , система выражений x меньше минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , левая круглая скобка x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка = 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , система выражений x меньше минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , совокупность выражений x = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,x = минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1 конец системы . конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,x = минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1. конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений система выражений x = минус 1 \pm корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x меньше минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , конец системы логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус x правая круглая скобка конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , система выражений x меньше минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , левая круглая скобка x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка = 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , система выражений x меньше минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , совокупность выражений x = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,x = минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1 конец системы . конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,x = минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1. конец совокупности .$

б)  Проверим корни на отрезке $левая квадратная скобка минус 2,5; минус 1,5 правая квадратная скобка$ :

$1 меньше 8 меньше 9 \Rightarrow 1 меньше 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше 3 \Rightarrow дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше корень из 2 меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше минус корень из 2 меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше минус 1 минус корень из 2 меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$ $1 меньше 8 меньше 9 \Rightarrow 1 меньше 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше 3 \Rightarrow дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше корень из 2 меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше минус корень из 2 меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби меньше минус 1 минус корень из 2 меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Таким образом, значение $минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ подходит и войдет в ответ.

Проверим следующее значение x:

$9 меньше 12 \Rightarrow 3 меньше 2 корень из 3 \Rightarrow дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше корень из 3 \Rightarrow минус корень из 3 меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow минус корень из 3 минус 1 меньше минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

Значит, значение $минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1$ не войдет в ответ.

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , минус 1 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая фигурная скобка ;$ б) $минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

561853

а) $левая фигурная скобка минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , минус 1 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая фигурная скобка ;$ б) $минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Источник: Избранные задания по математике из последних сборников ФИПИ

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Область определения уравнения, Сравнение чисел

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.1 Квадратные уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	561853	а) $левая фигурная скобка минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , минус 1 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая фигурная скобка ;$ б) $минус 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$