РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 561449 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 348

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства с модулями, Область определения неравенства

Методы алгебры: Метод интервалов, Перебор случаев

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Логарифмические неравенства, разные задачи

Решите неравенство $логарифм по основанию 9 левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 81 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в степени 4 плюс логарифм по основанию 3 дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: x минус 7 конец дроби больше или равно 3.$

Решение. Преобразуем неравенство:

$логарифм по основанию 9 левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 81 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в степени 4 плюс логарифм по основанию 3 дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: x минус 7 конец дроби больше или равно 3 равносильно 2 логарифм по основанию 9 |x минус 7| умножить на 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 81 правая круглая скобка |x минус 3| плюс логарифм по основанию 3 дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: x минус 7 конец дроби больше или равно 3 равносильно$ $логарифм по основанию 9 левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 81 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в степени 4 плюс логарифм по основанию 3 дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: x минус 7 конец дроби больше или равно 3 равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 9 |x минус 7| умножить на 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 81 правая круглая скобка |x минус 3| плюс логарифм по основанию 3 дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: x минус 7 конец дроби больше или равно 3 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию 3 |x минус 7| умножить на логарифм по основанию 3 |x минус 3| плюс логарифм по основанию 3 дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: x минус 7 конец дроби больше или равно 3.$

При $3 меньше или равно x\leqslant7$ неравенство не определено. Рассмотрим оставшиеся значения переменной.

При $x больше 7$ получаем:

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: x минус 7 конец дроби больше или равно 3 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка плюс 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка больше или равно 3 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \geqslant0 \undersetx больше 7\mathop равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка плюс 3\geqslant0 равносильно x минус 7\geqslant3 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка равносильно x больше или равно целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 27 .$ $равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \geqslant0 \undersetx больше 7\mathop равносильно$
$\undersetx больше 7\mathop равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка плюс 3\geqslant0 равносильно x минус 7\geqslant3 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка равносильно x больше или равно целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 27 .$

При $x меньше 3$ получаем:

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: x минус 7 конец дроби больше или равно 3 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка плюс 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка больше или равно 3 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \geqslant0 \undersetx меньше 3\mathop равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка минус 1\geqslant0 равносильно 3 минус x\geqslant3 равносильно x\leqslant0.$ $равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \geqslant0 \undersetx меньше 3\mathop равносильно$
$\undersetx меньше 3\mathop равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка минус 1\geqslant0 равносильно 3 минус x\geqslant3 равносильно x\leqslant0.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 27 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

561449

$левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 27 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 348

Методы алгебры: Метод интервалов, Перебор случаев

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	561449	$левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 27 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$