РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 561447 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 348

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов, Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка \ctg x умножить на косинус 3x правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус косинус 4x минус синус 3x правая круглая скобка .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$4 в степени левая круглая скобка \ctg x умножить на косинус 3x правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус косинус 4x минус синус 3x правая круглая скобка равносильно \ctg x умножить на косинус 3x= косинус 4x плюс синус 3x равносильно$
$равносильно система выражений косинус x косинус 3x= косинус 4x синус x плюс синус 3x синус x, левая круглая скобка * правая круглая скобка синус x не равно 0. конец системы .$ $4 в степени левая круглая скобка \ctg x умножить на косинус 3x правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус косинус 4x минус синус 3x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \ctg x умножить на косинус 3x= косинус 4x плюс синус 3x равносильно$
$равносильно система выражений косинус x косинус 3x= косинус 4x синус x плюс синус 3x синус x, левая круглая скобка * правая круглая скобка синус x не равно 0. конец системы .$

Решим уравнение (⁎):

$косинус x косинус 3x минус синус 3x синус x минус косинус 4x синус x=0 равносильно$

$равносильно косинус 4x минус косинус 4x синус x=0 равносильно косинус 4x левая круглая скобка 1 минус синус x правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений косинус 4x=0, синус x=1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 4x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби ,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Все найденные корни удовлетворяют условию $синус x не равно 0.$

б)  Отберём корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходят числа $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

561447

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 348

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	561447	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$