Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 561197
i

15‐го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке в раз­ме­ре S руб­лей на n ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2‐⁠го по 14‐⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну A мень­ше долга на 15‐⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

Най­ди­те n, S, A и общую сумму вы­плат после по­га­ше­ния кре­ди­та D, если из­вест­но, что четвёртая вы­пла­та со­ста­вит 17 700 руб­лей, а де­вя­тая вы­пла­та  — 16 200 руб­лей.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть k=0,02. Со­ста­вим таб­ли­цу.

 

Номер ме­ся­цаДолг на 1 число ме­ся­ца,
с уче­том про­цен­тов,
руб.
Вы­пла­та,
руб.
Долг на 15 число ме­ся­ца,
руб.
S
1 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс k пра­вая круг­лая скоб­ка SkS плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби S минус дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби
............
4 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс k пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 3S, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка k левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 3S, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби S минус дробь: чис­ли­тель: 4S, зна­ме­на­тель: n конец дроби
............
9 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс k пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 8S, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка k левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 8S, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби S минус дробь: чис­ли­тель: 9S, зна­ме­на­тель: n конец дроби
............
n......0

 

Найдём раз­ность четвёртой и де­вя­той вы­плат:

k левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 3S, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка k левая круг­лая скоб­ка S минус дробь: чис­ли­тель: 8S, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =17700 минус 16200 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 5kS, зна­ме­на­тель: n конец дроби =1500 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на 0,02 умно­жить на S, зна­ме­на­тель: n конец дроби =1500 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби =15000.

За­ме­тим, что  дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби =A, зна­чит, A=15000 руб.

 

Найдём S, под­ста­вив най­ден­ное зна­че­ние A в урав­не­ние для четвёртой вы­пла­ты:

0,02 левая круг­лая скоб­ка S минус 3 умно­жить на 15000 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 15000=17700 рав­но­силь­но S=180000.

Тогда

 дробь: чис­ли­тель: 180000, зна­ме­на­тель: n конец дроби =15000 рав­но­силь­но n=12.

За­ме­тим, что вы­пла­ты пред­став­ля­ют собой ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Найдём сумму вы­плат D, ис­поль­зуя фор­му­лу суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

D=D_1 плюс D_2 плюс D_3 плюс ... плюс D_12 = дробь: чис­ли­тель: D_1 плюс D_12, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 12=
= дробь: чис­ли­тель: D_4 плюс D_9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 12= левая круг­лая скоб­ка 17700 плюс 16200 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 6=203400
руб.

Ответ: n=12, S=180000, A=15000 руб. и D=203400 руб.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 347
Классификатор алгебры: Банки, вкла­ды, кре­ди­ты, За­да­чи о кре­ди­тах