PDF-версии: 
Плоскость α проходит через середины двух противоположных ребер треугольной пирамиды и параллельна медиане одной из ее граней.
а) Докажите, что среди медиан граней этой пирамиды в точности две являются параллельными к плоскости α.
б) Найдите площадь сечения данной пирамиды плоскостью α, если эти медианы перпендикулярны друг другу и равны 2.
Решение. а) Пусть точки M1, M2, M3 и M4 — середины рёбер AB, CD, BC и AD соответственно. Плоскость сечения проходит через точки M1 и M2 параллельно AM3. Построим сечение: прямая M1N2 параллельна прямой AM3 (N2 — точка на ребре BC). Точка S — точка пересечения прямой M1N2 с прямой AC. Точка N1 — точка пересечения прямой SM2 с прямой AD. Тогда M1N1M2N2 — искомое сечение.
Точка M1 — середина ребра AB, тогда по теореме Фалеса отрезки BN2 и N2M3 равны, а также
и 
По теореме Менелая для треугольника ADC получим
Таким образом, 
следовательно, прямая M1N1 параллельна прямой BM4, значит, сечение M1N1M2N2 параллельно прямой BM4.
б) Заметим, что прямые M1N1 и M1N2 перпендикулярны, при этом M1N1 = M2N2 = 1. Кроме того, треугольники CAM3 и CSN2 подобны, откуда 
следовательно, 
По теореме Менелая для треугольника SM2C получим 
откуда 
По теореме об отношении площадей треугольников с равным углом получим, что
Ответ: б) 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |