Пусть Ми­ха­ил от­кла­ды­ва­ет в се­ре­ди­не каж­до­го ме­ся­ца х руб­лей. К се­ре­ди­не n-го ме­ся­ца у Ми­ха­и­ла ско­пит­ся nx руб­лей, а акции будут сто­ить не более 160 000 · 1,25ⁿ⁻¹ руб­лей. Для того чтобы Ми­ха­ил смог ку­пить пакет акций в этом ме­ся­це, не­об­хо­ди­мо, чтобы вы­пол­ня­лось не­ра­вен­ство По­ло­жим Для того что бы Ми­ха­ил смог через не­ко­то­рое время ку­пить пакет акций, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но от­кла­ды­вать сумму, боль­шую либо рав­ную наи­мень­ше­му из чисел Срав­ним два по­сле­до­ва­тель­ных таких числа. Для этого вы­чис­лим их от­но­ше­ние:

От­сю­да по­лу­ча­ем, что при вы­пол­не­но не­ра­вен­ство причём ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся толь­ко при а при вы­пол­не­но не­ра­вен­ство Зна­чит, наи­мень­шим из чисел a_n будет число

По­это­му наи­мень­шая сумма, ко­то­рую нужно от­кла­ды­вать Ми­ха­и­лу, равна 78 125 руб­лям.

Ответ: 78 125 руб­лей.