PDF-версии: 
В основании пирамиды SABCD лежит ромб АВСD, сторона которого равна 8, а угол при вершине A равен 60°. Известно, что SA = 15, 
и, кроме того, SB = SD.
а) Докажите, что SC — высота пирамиды.
б) Найдите угол между плоскостью ASC и ребром SB.
Решение. а) Заметим, что так как угол ромба при вершине A равен 60°, ромб составлен из двух равносторонних треугольников ABD и BCD. Тогда диагональ AC равна удвоенной высоте этих треугольников, то есть
Заметим, что
следовательно, треугольник SAC прямоугольный, а прямые SC и AC взаимно перпендикулярны.
Пусть O — центр ромба, тогда прямая SO перпендикулярна прямой BD как высота равнобедренного треугольника SBD. Кроме того, прямые AC и BD взаимно перпендикулярны как диагонали ромба. Следовательно, прямая BD перпендикулярна грани SAC. Поэтому прямые SC и BD взаимно перпендикулярны, а значит, прямая SC перпендикулярна основанию ABCD.
б) В п. а) доказано, что прямая BD перпендикулярна грани SAC, следовательно, проекцией прямой SB на плоскость SAC является прямая SO и искомый угол равен углу BSO. Заметим, что:
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |