РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 555588 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 334. (часть C)

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром, Неравенства смешанного типа

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения α, при каждом из которых оба числа $3 синус альфа плюс 5$ и $9 косинус 2 альфа минус 36 синус альфа минус 18$ являются решениями неравенства

Решение. Решим неравенство:

$дробь: числитель: левая круглая скобка 25x минус 3x в квадрате плюс 18 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x минус 1 конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 4 |x минус 7| минус 1 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x минус 1 конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 4 |x минус 7| минус 1 конец дроби \geqslant0 равносильно$

$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 3x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: |x минус 7| минус 4 конец дроби \geqslant0,x не равно 7,x\geqslant1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 3x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 11 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0,x не равно 7,x\geqslant1 конец системы . равносильно совокупность выражений 1 меньше или равно x меньше 3,9 меньше или равно x меньше 11. конец совокупности .$ $равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 3x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: |x минус 7| минус 4 конец дроби \geqslant0,x не равно 7,x\geqslant1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка 3x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 11 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0,x не равно 7,x\geqslant1 конец системы . равносильно совокупность выражений 1 меньше или равно x меньше 3,9 меньше или равно x меньше 11. конец совокупности .$

Число $3 синус альфа плюс 5$ является решением неравенства, если выполнена совокупность

$совокупность выражений 1 меньше или равно 3 синус альфа плюс 5 меньше 3,9 меньше или равно 3 синус альфа плюс 5 меньше 11 конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно синус альфа меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно синус альфа меньше 2 конец совокупности . равносильно синус альфа меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Преобразуем второе число:

$9 косинус 2 альфа минус 36 синус альфа минус 18 = 9 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате альфа правая круглая скобка минус 36 синус альфа минус 18=$
$= минус 18 синус в квадрате альфа минус 36 синус альфа минус 18 плюс 9= минус 18 левая круглая скобка синус альфа плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 9.$ $9 косинус 2 альфа минус 36 синус альфа минус 18 =$
$= 9 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате альфа правая круглая скобка минус 36 синус альфа минус 18=$
$= минус 18 синус в квадрате альфа минус 36 синус альфа минус 18 плюс 9=$
$= минус 18 левая круглая скобка синус альфа плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 9.$

Оценим полученное выражение. Поскольку $синус альфа меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,$ получаем:

$0 меньше или равно синус альфа плюс 1 меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно 0 меньше или равно левая круглая скобка синус альфа плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби равносильно$
$равносильно минус 2 меньше минус 18 левая круглая скобка синус альфа плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно 7 меньше минус 18 левая круглая скобка синус альфа плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 9 меньше или равно 9.$ $0 меньше или равно синус альфа плюс 1 меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно 0 меньше или равно левая круглая скобка синус альфа плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби равносильно$
$равносильно минус 2 меньше минус 18 левая круглая скобка синус альфа плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 7 меньше минус 18 левая круглая скобка синус альфа плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 9 меньше или равно 9.$

Значит, если первое число $3 синус альфа плюс 5$ является решением неравенства, то второе число может являться его решением, только если оно равно 9, при $синус альфа = минус 1.$ Таким образом, оба числа являются решением неравенства, только если $альфа = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

Ответ: $альфа = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано.	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной.	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Ответ: $альфа = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

555588

$альфа = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 334. (часть C)

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	555588	$альфа = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$