Тип 17 № 555586 
Планиметрическая задача. Вписанные окружности и треугольники
i
Дан остроугольный треугольник АВС со стороной АВ = 21. К прямым ВС и АС проведены высоты АН1 и ВН2. Известно, что 17АН = 30R, 5ВН = 6R, где Н — точка пересечения прямых АН1 и ВН2, R — радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника АВС.
Решение. 
а) Заметим, что 
поэтому синусы углов AHB и ACB равны, а кроме того, угол AHB тупой, а углы ABH и BAH — острые. Тогда, по теореме синусов,
Следовательно, радиусы окружностей, описанных около треугольников AHB и ABC равны. Тогда
поэтому
Значит,
Аналогично,
Тогда получаем, что
Что и требовалось доказать.
б) Найдем
Поэтому, по теореме синусов,
Далее вычислим площадь треугольника ABC
Ответ: б) 84.
Примечание Решу ЕГЭ.
Читатель, решивший дополнительно найти сторону ВС, воспользуется теоремой синусов 
и получит
Следовательно, стороны треугольника ABC равны 10, 17 и 21. Но треугольник с такими сторонами тупоугольный, а не остроугольный, как дано в условии. Описанной в условии геометрической фигуры не существует. Решение, приведенное выше, неверно, потому что и решить ничего нельзя. Задание некорректно.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 84.
PDF-версии: