РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 555585 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 334. (часть C)

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Логарифмические неравенства, Неравенства смешанного типа, Область определения неравенства, Рациональные неравенства

Методы алгебры: Перебор случаев

Неравенства. Логарифмы и иррациональности

Решите неравенство $4 корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x конец аргумента \leqslant4 минус 12x.$

Решение. Преобразуем неравенство, воспользовавшись формулой $корень из: начало аргумента: a в квадрате конец аргумента =|a|:$

$4 корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x конец аргумента \leqslant4 минус 12x равносильно 4|3x минус 1| плюс корень из: начало аргумента: \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x конец аргумента \leqslant4 минус 12x.$ $4 корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 3x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x конец аргумента \leqslant4 минус 12x равносильно$
$равносильно 4|3x минус 1| плюс корень из: начало аргумента: \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x конец аргумента \leqslant4 минус 12x.$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля. Если $x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ то

$12x минус 4 плюс корень из: начало аргумента: \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x конец аргумента \leqslant4 минус 12x равносильно корень из: начало аргумента: \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x конец аргумента \leqslant8 минус 24x.$ $12x минус 4 плюс корень из: начало аргумента: \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x конец аргумента \leqslant4 минус 12x равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x конец аргумента \leqslant8 минус 24x.$

При $x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ правая часть получившегося неравенства отрицательна, значит, неравенство не имеет решений.

Если $x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ то

$минус 12x плюс 4 плюс корень из: начало аргумента: \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x конец аргумента \leqslant4 минус 12x равносильно корень из: начало аргумента: \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x конец аргумента меньше или равно 0 равносильно$ $минус 12x плюс 4 плюс корень из: начало аргумента: \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x конец аргумента \leqslant4 минус 12x равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x конец аргумента меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно корень из: начало аргумента: \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x конец аргумента =0 равносильно \log в квадрате _2x в квадрате плюс 16 логарифм по основанию 4 x =0 равносильно$

$равносильно 4\log в квадрате _2x плюс 8 логарифм по основанию 2 x=0 равносильно логарифм по основанию 2 x левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 x= минус 2, логарифм по основанию 2 x=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x=1. конец совокупности .$

Условию $x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ удовлетворяет только $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая фигурная скобка .$

555585

$левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая фигурная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 334. (часть C)

Методы алгебры: Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	555585	$левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая фигурная скобка .$