PDF-версии: 
На стороне АВ выпуклого четырехугольника АВCD выбрана точка М так, что 
и 
Утроенный квадрат отношения расстояния от точки А до прямой CD к расстоянию от точки С до прямой AD равен 2, СD = 20.
а) Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
б) Найдите длину радиуса вписанной в треугольник АСD окружности.
Решение. а) Треугольники AMD и ADB подобны по двум углам, поэтому отрезки AM к AD относятся как AD к AB. Треугольники СAM и BAC подобны по двум углам, поэтому отрезки AM к AC относятся как AC к AB. Разделив первое из этих равенств на второе, получаем, что отрезки AC к AD относятся как AD к AC, значит, они равны. Что и требовалось доказать.
б) Из условия следует, что высота треугольника ADC, проведенная из вершины A относится к высоте треугольника ADC, проведенной из вершины С как 
к 
Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены, значит, отрезки AD к CD относятся как к Тогда 
Пусть AH — высота треугольника ADC. Тогда
Найдем площадь треугольника ADC:
Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру, поэтому
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |