РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 552118 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 327. (часть C)

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Функции, зависящие от параметра

Задача с параметром. Функции, зависящие от параметра

Найдите все положительные значения параметра a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения $ax в квадрате плюс 2x минус 2,25=0$ не больше расстояния между точками экстремума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2x в кубе минус 9x в квадрате минус 6ax плюс 13a в квадрате .$

Решение. По условию $a больше 0.$ Пусть x₁ и x₂  — корни квадратного уравнения $ax в квадрате плюс 2x минус 2,25=0,$ найдем модуль их разности:

$|x_1 минус x_2| = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус 4x_1x_2 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4a конец дроби правая круглая скобка конец аргумента = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 4, знаменатель: a в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: a конец дроби конец аргумента = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 4 плюс 9a, знаменатель: a в квадрате конец дроби конец аргумента .$ $|x_1 минус x_2| = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус 4x_1x_2 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4a конец дроби правая круглая скобка конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 4, знаменатель: a в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: a конец дроби конец аргумента = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 4 плюс 9a, знаменатель: a в квадрате конец дроби конец аргумента .$

Точки экстремума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2x в кубе минус 9x в квадрате минус 6ax плюс 13a в квадрате$ найдём при помощи производной:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =6x в квадрате минус 18x минус 6a=6 левая круглая скобка x в квадрате минус 3x минус a правая круглая скобка .$

Корни x₃ и x₄ квадратного уравнения $x в квадрате минус 3x минус a=0$ являются точками экстремума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ расстояние между ними равно

$|x_3 минус x_4| = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x_3 минус x_4 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x_3 плюс x_4 правая круглая скобка в квадрате минус 4x_3x_4 конец аргумента = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на левая круглая скобка минус a правая круглая скобка конец аргумента = корень из: начало аргумента: 9 плюс 4a конец аргумента .$ $|x_3 минус x_4| = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x_3 минус x_4 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x_3 плюс x_4 правая круглая скобка в квадрате минус 4x_3x_4 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на левая круглая скобка минус a правая круглая скобка конец аргумента = корень из: начало аргумента: 9 плюс 4a конец аргумента .$

Для ответа на вопрос задачи решим неравенство:

$корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 4 плюс 9a, знаменатель: a в квадрате конец дроби конец аргумента меньше или равно корень из: начало аргумента: 9 плюс 4a конец аргумента \underseta больше 0\mathop равносильно дробь: числитель: 4 плюс 9a, знаменатель: a в квадрате конец дроби \leqslant9 плюс 4a \underseta больше 0\mathop равносильно 4a в кубе плюс 9a в квадрате минус 9a минус 4\geqslant0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4a в квадрате плюс 13a плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0 \underseta больше 0\mathop равносильно a минус 1\geqslant0 равносильно a\geqslant1.$

Ответ: $левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано.	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной.	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Ответ: $левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

552118

$левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 327. (часть C)

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром, Функции, зависящие от параметра

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	552118	$левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$