PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S стороны основания равны 18, а боковые ребра — 15. Точка R принадлежит ребру SB, причем SR : RB = 2 : 1.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки С и R параллельно BD делит ребро SA пополам.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Решение. а) Пусть T — такая точка на SD, что отрезки RT и BD параллельны, тогда RT принадлежит сечению. Отрезок RT лежит в плоскости SBD и пересекает высоту SO в точке K. Таким образом, прямая CK также лежит в плоскости сечения SAC. Пусть L — точка пересечения CK и SA, это точка пересечения секущей плоскости с ребром SA. Отрезки SK и KO, SR и RB, ST и TD относятся друг к другу как
б) Сечением пирамиды является дельтоид CRLT, составленный из двух равнобедренных треугольников. Площадь дельтоида равна половине произведения диагоналей. Заметим, что
Найдем другую диагональ. Пусть L' — проекция точки L на AC, тогда
Для искомой площади сечения получаем: 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |