PDF-версии: 
Дан прямой круговой конус с вершиной М. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120° при вершине М. Образующая конуса равна 
Через точку М проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник — тупоугольный.
б) Найдите расстояние от центра О основания конуса до плоскости сечения.
Решение. а) Пусть АВ — диаметр окружности, MО — высота конуса, и пусть плоскость сечения перпендикулярна образующей АМ и пересекает основание по хорде CD. Прямая АМ лежит в плоскости АМВ и перпендикулярна хорде CD. Прямая MO лежит в плоскости АМВ и перпендикулярна хорде CD как высота конуса, следовательно, плоскость АМВ перпендикулярна прямой CD, а значит, диаметр АВ перпендикулярен хорде CD. Пусть К — точка их пересечения. Заметим, что образующие MA, MB, MC и MD равны 
угол АМВ равен 120°, откуда получаем, что углы МАВ и МВА равны 
Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольных треугольниках АМО и ВМО катеты АО и ВО равны 3, значит, диаметр АВ равен 6. Рассмотрим треугольник АМК: он прямоугольный, поскольку прямые АМ и МК перпендикулярны, с острым углом МAК, который равен 30°. Таким образом, АК = 2МК = 2х. Найдем х по теореме Пифагора для этого треугольника:
Рассмотрим теперь треугольник MCD, полученный в сечении. Он равнобедренный, в нем стороны MC и MD равны а высота МК равна 2. Таким образом,
значит, 
В треугольнике MCD
Таким образом, получаем, что треугольник MCD тупоугольный.
б) В плоскости МАВ из точки О опустим перпендикуляр ОН на прямую МК. Прямая СD перпендикулярна плоскости МАВ, поэтому прямые ОН и СD перпендикулярны и, следовательно, ОН является искомым расстоянием. Заметим, что АК = 2МК = 4, а ОК = АК − АО = 1. Вычислим площадь треугольника МОК двумя способами:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |