РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 550261 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 323. (часть C)

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Область определения уравнения, Сравнение чисел

Методы алгебры: Группировка

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.6 Логарифмические уравнения;

2.2.4 Логарифмические неравенства.

Уравнения. Логарифмические уравнения

а)  Решите уравнение $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 5 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка плюс 3 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 5 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка минус 6=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 7 ; логарифм по основанию 2 9 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 5 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка плюс 3 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 5 правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка минус 6=0 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 5 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 5 правая круглая скобка минус 2 = 0, x меньше 7, логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка плюс 3 = 0, x в квадрате больше 5 конец совокупности . равносильно$ $равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 5 правая круглая скобка минус 2 = 0, x меньше 7, логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка плюс 3 = 0, x в квадрате больше 5 конец совокупности . равносильно$

$равносильно система выражений x меньше 7, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 5 правая круглая скобка = 2 конец системы . равносильно система выражений x меньше 7, x в квадрате минус 5 = 4 конец системы . равносильно совокупность выражений x=3,x= минус 3. конец совокупности .$

б)  Заметим, что

$минус 3 = логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 меньше логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 7 меньше 3 = логарифм по основанию 2 8 меньше логарифм по основанию 2 9,$

поэтому в указанный промежуток попадает только корень $x=3.$

Ответ: а) {−3; 3}; б) 3.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2