Ре­ше­ние. а)  Пусть в школе № 1 пи­са­ли тест два уча­щих­ся, один из них на­брал 1 балл, а вто­рой на­брал 19 бал­лов и перешёл в школу № 2. Тогда сред­ний балл в школе № 1 умень­шил­ся в 10 раз.

б)  Пусть в школе № 2 пи­са­ли тест m уча­щих­ся, сред­ний балл рав­нял­ся B, а про­шед­ший в неё уча­щий­ся на­брал u бал­лов. Тогда по­лу­ча­ем:

Если B  =  7, то не де­лит­ся на 10, а 10u де­лит­ся на 10. Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку

в)  Пусть в школе № 1 сред­ний балл рав­нял­ся A. Тогда по­лу­ча­ем:

За­ме­тим, что если B  =  1 или B  =  3, то не де­лит­ся на 10. Если B  =  2 или B  =  4, то m  =  4. В пер­вом слу­чае 14A  =  10, а во вто­ром 14A  =  20. Зна­чит,ни один из этих слу­ча­ев не воз­мо­жен.

При B  =  5 и m  =  3 по­лу­ча­ем u  =  3 и A  =  2. Этот слу­чай ре­а­ли­зу­ет­ся, на­при­мер, если в школе № 1 пи­са­ли тест 6 уча­щих­ся, 3 из них на­бра­ли по 1 баллу, а 3  — по 3 балла, в школе № 2 пи­са­ли тест 3 уча­щих­ся и каж­дый на­брал по 5 бал­лов, а у пе­ре­шед­ше­го из одной школы в дру­гую уча­ще­го­ся 3 балла.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  5.

а)  Если наи­мень­шее число равно 3, то сумма шести наи­мень­ших чисел не мень­ше а их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское боль­ше 5.

б)  Упо­ря­до­чим числа по воз­рас­та­нию и обо­зна­чим их Сумма шести наи­мень­ших чисел равна 30, сумма шести наи­боль­ших чисел равна  90, сумма всех де­ся­ти чисел равна  110. Тогда то есть Но та­ко­го быть не может, по­сколь­ку и

в)  До­ка­жем, что Пусть тогда зна­чит, (иначе ). Но тогда Про­ти­во­ре­чие. Зна­чит, Таким об­ра­зом, Тогда сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 10 чисел не пре­вос­хо­дит 10,5.

Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­бо­ра 2, 3, 4, 6, 7, 8, 14, 16, 22, 23, удо­вле­тво­ря­ю­ще­го усло­ви­ям за­да­чи, как раз равно 10,5.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)