Тип 19 № 548486 
Числа и их свойства. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки
i
По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы 2 мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое количество конфет, а у любых двух девочек — разное. По команде каждый отдал соседу справа одну третью или одну четвертую своих конфет. После этого у любых двух мальчиков стало разное количество конфет, а у любых двух девочек — одинаковое. Известно, что каждый отдал натуральное число конфет.
а) Возможно ли, чтобы мальчиков было столько же, сколько и девочек?
б) Могло ли быть ровно 5 мальчика?
в) Могло ли быть ровно 9 мальчиков?
Решение. а) Да. Пусть, например, по кругу стояли мальчик с 36 конфетами, девочка с 12, мальчик с 36, девочка с 16. Они отдали 12, 3, 9 и 4 конфеты соответственно и теперь у них стало 28, 21, 30, 21 конфет.
б) Да. Пусть, например, у них было 108, 108, 108, 12, 108, 108, 24 конфеты (мальчики имели по 108 конфет), а передали они по 27, 27, 36, 3, 36, 27, 6 конфет. Тогда у них станет 87, 108, 99, 45, 84, 117, 45 конфет — у обеих девочек по 45, а у мальчиков не поровну.
в) Допустим, что это возможно. Тогда есть минимум пять мальчиков, отдавших поровну конфет. Посмотрим на тех, кому они отдавали конфеты — минимум трое из них одного пола. Из этих троих минимум двое отдают одинаковую часть своих конфет. Если эти двое — мальчики, то они поровну получили и поровну отдали (равные части от равных количеств), поэтому у них осталось поровну. Если же это девочки, то они имели не поровну конфет, оставили себе одинаковые части 
или 
от неравных количеств — то есть не поровну, а получили поровну.
Ответ: а) да, б) да, в) нет.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да, б) да, в) нет.
548486
а) да, б) да, в) нет.
PDF-версии: