РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 547766 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 318. (Часть C)

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Область определения неравенства

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате минус 20x плюс 48 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 9 правая круглая скобка .$

Решение. Найдём ОДЗ неравенства:

$система выражений 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 24 правая круглая скобка больше 0,x в квадрате минус 9 больше 0,x плюс 3 больше 0 ,x плюс 3 не равно 1 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка больше 0, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка больше 0,x плюс 3 больше 0 ,x плюс 3 не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка больше 0,x больше 3 конец системы . равносильно совокупность выражений 3 меньше x меньше 4,x больше 6. конец совокупности .$ $система выражений 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 24 правая круглая скобка больше 0,x в квадрате минус 9 больше 0,x плюс 3 больше 0 ,x плюс 3 не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка больше 0, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка больше 0,x плюс 3 больше 0 ,x плюс 3 не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка больше 0,x больше 3 конец системы . равносильно совокупность выражений 3 меньше x меньше 4,x больше 6. конец совокупности .$ $система выражений 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 24 правая круглая скобка больше 0,x в квадрате минус 9 больше 0,x плюс 3 больше 0 ,x плюс 3 не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка больше 0, левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка больше 0,x плюс 3 больше 0 ,x плюс 3 не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка больше 0,x больше 3 конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 3 меньше x меньше 4,x больше 6. конец совокупности .$

На ОДЗ основание логарифмов больше 1, поэтому при потенцировании знак неравенства не меняется. Имеем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате минус 20x плюс 48 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 9 правая круглая скобка \undersetОДЗ\mathop равносильно$
$\undersetОДЗ\mathop равносильно 2x в квадрате минус 20x плюс 48 больше или равно x в квадрате минус 9 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 20x плюс 57\geqslant0 равносильно совокупность выражений x\leqslant10 минус корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента ,x\geqslant10 плюс корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента . конец совокупности .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате минус 20x плюс 48 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 9 правая круглая скобка \undersetОДЗ\mathop равносильно$
$\undersetОДЗ\mathop равносильно 2x в квадрате минус 20x плюс 48 больше или равно x в квадрате минус 9 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 20x плюс 57\geqslant0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x\leqslant10 минус корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента ,x\geqslant10 плюс корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента . конец совокупности .$

Осталось учесть ОДЗ. Для этого заметим, что

$36 меньше 43 меньше 49 равносильно 6 меньше корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента меньше 7 равносильно$
$равносильно минус 7 меньше минус корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента меньше минус 6 3 меньше 10 минус корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента меньше 4.$ $36 меньше 43 меньше 49 равносильно$
$равносильно 6 меньше корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента меньше 7 равносильно$
$равносильно минус 7 меньше минус корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента меньше минус 6 3 меньше 10 минус корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента меньше 4.$

Тогда получаем:

$система выражений совокупность выражений 3 меньше x меньше 4,x больше 6, конец системы . совокупность выражений x\leqslant10 минус корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента ,x\geqslant10 плюс корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений 3 меньше x меньше или равно 10 минус корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента ,x\geqslant10 плюс корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента . конец совокупности .$ $система выражений совокупность выражений 3 меньше x меньше 4,x больше 6, конец системы . совокупность выражений x\leqslant10 минус корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента ,x\geqslant10 плюс корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента конец совокупности . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 3 меньше x меньше или равно 10 минус корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента ,x\geqslant10 плюс корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента . конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 3; 10 минус корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 10 плюс корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

547766

$левая круглая скобка 3; 10 минус корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 10 плюс корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 318. (Часть C)

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Область определения неравенства

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	547766	$левая круглая скобка 3; 10 минус корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 10 плюс корень из: начало аргумента: 43 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$