ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 1 № 54647 Добавить в вариант

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 8, 23, 78. Найдите периметр данного треугольника.

Спрятать решение

Решение.

Покажем, что сумма периметров отсеченных треугольников равна сумме длин сторон треугольника АВС, то есть равна его периметру. Отрезки касательных, проведенных к окружности из точек K, H, O, F, N, M соответственно равны друг другу (см. рис., равные отрезки выделены одинаковыми цветами). Следовательно,

$P_BKM = BQ плюс BR,$

$P_CHO = CQ плюс CS,$

$P_AFN = AS плюс AR.$

Сложим правые части полученных равенств:

$левая круглая скобка BQ плюс BR правая круглая скобка плюс левая круглая скобка CQ плюс CS правая круглая скобка плюс левая круглая скобка AS плюс AR правая круглая скобка = AB плюс BC плюс AC = P_ABC.$

Таким образом,

$P_ABC = P_BKM плюс P_CHO плюс P_AFN = 109.$

Ответ: 109.

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника;

5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника.

Спрятать решение · Прототип задания · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь

Роман Никитин (Апатиты) 27.10.2015 20:31

Следует указать, что касательные параллельны прямым, проходящим через точки касания окружности и треугольника, или, что отсеченные треугольники равнобедренные. В противном случае провести касательные можно бесконечным числом способов.

Служба поддержки

Можно. Это не скажется на правильности рассуждений.