РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 546447 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 314. (Часть C)

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Задача с параметром. Неравенства с параметром

Найдите все значения параметра $a не равно 0$ такие, что неравенство

$\log в квадрате _2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2ax плюс a в квадрате минус a плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 6 конец дроби умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2ax плюс a в квадрате минус a плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0$

не имеет решений.

Решение. Преобразуем неравенство:

$равносильно \log в квадрате _2 левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка в квадрате минус a плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 6 конец дроби умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка в квадрате минус a плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Пусть $x плюс a=t,$ тогда

$\log в квадрате _2 левая круглая скобка t в квадрате минус a плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 6 конец дроби умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка t в квадрате минус a плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка t в квадрате минус a плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка t в квадрате минус a плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно система выражений левая круглая скобка t в квадрате минус a правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус a плюс 1 минус дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка \leqslant0,t в квадрате минус a плюс 1 больше 0,a не равно 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка t в квадрате минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 6t в квадрате минус a в квадрате минус 6a плюс 6 правая круглая скобка \leqslant0,t в квадрате минус a плюс 1 больше 0,a не равно 0. конец системы .$ $равносильно система выражений левая круглая скобка t в квадрате минус a правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус a плюс 1 минус дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка \leqslant0,t в квадрате минус a плюс 1 больше 0,a не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка t в квадрате минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 6t в квадрате минус a в квадрате минус 6a плюс 6 правая круглая скобка \leqslant0,t в квадрате минус a плюс 1 больше 0,a не равно 0. конец системы .$

По условию задачи $a не равно 0.$ Если $a больше 0,$ то $t= корень из: начало аргумента: a конец аргумента$ является решением системы. Значит, при любом положительном значении параметра исходное неравенство имеет решение. Если $a меньше 0,$ то полученная система равносильна неравенству

$6t в квадрате минус a в квадрате минус 6a плюс 6\leqslant0 равносильно 6t в квадрате меньше или равно a в квадрате плюс 6a минус 6,$

которое не имеет решений, если

$a в квадрате плюс 6a минус 6 меньше 0 равносильно левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 15 меньше 0 равносильно левая круглая скобка a плюс 3 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 3 плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента правая круглая скобка меньше 0 равносильно$ $a в квадрате плюс 6a минус 6 меньше 0 равносильно левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 15 меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a плюс 3 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 3 плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента правая круглая скобка меньше 0 равносильно$

$равносильно минус 3 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента меньше a меньше минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента \underseta меньше 0\mathop равносильно минус 3 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента меньше a меньше 0.$

Ответ: $левая круглая скобка минус 3 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ;0 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

546447

$левая круглая скобка минус 3 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ;0 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 314. (Часть C)

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	546447	$левая круглая скобка минус 3 минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента ;0 правая круглая скобка .$