РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 544275 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 311. (Часть C)

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства смешанного типа, Показательные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства.

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство $4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус 9 больше или равно 4 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2\log в квадрате _3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус 11 умножить на левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Решение. Заметим, что

$3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$

и введём замену переменной $t = левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка .$ Тогда

$4t минус 9 больше или равно 4t в квадрате минус 11t равносильно 4t в квадрате минус 15t плюс 9\leqslant0 равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 4t минус 3 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно t\leqslant3.$ $4t минус 9 больше или равно 4t в квадрате минус 11t равносильно 4t в квадрате минус 15t плюс 9\leqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 4t минус 3 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно t\leqslant3.$

Вернёмся к исходной переменной и прологарифмируем неравенство по основанию 3:

$дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка \leqslant3 равносильно логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 3 3 равносильно$

$равносильно 1 минус логарифм по основанию 3 4\leqslant\log в квадрате _3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка \leqslant1 равносильно \log в квадрате _3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка \leqslant1 равносильно$

$равносильно минус 1 меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x минус 2 меньше или равно 3 равносильно дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно 5.$

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби ; 5 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби ; 5 правая квадратная скобка .$

544275

$левая квадратная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби ; 5 правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 311. (Часть C)

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	544275	$левая квадратная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби ; 5 правая квадратная скобка .$