РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 544249 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 312. (Часть C)

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $2 в степени левая круглая скобка минус косинус 2x правая круглая скобка плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

$2 в степени левая круглая скобка 2 синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = дробь: числитель: 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка конец дроби .$

Пусть $t=2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка ,$ имеем:

$t в квадрате минус 5 корень 4 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на t плюс 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =0 равносильно совокупность выражений t=4 корень 4 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,t= корень 4 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента . конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной:

$совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка =4 корень 4 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента , 2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка = корень 4 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности равносильно совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка =2 в степени д робь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби , 2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка =2 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$ $совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка =4 корень 4 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента , 2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка = корень 4 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности равносильно совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка =2 в степени д робь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби , 2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка =2 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 2 Пи правая квадратная скобка .$ Для этого воспользуемся тригонометрической окружностью. На отрезке лежат корни $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

544249

а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$