РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 542041 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 309 (часть 2)

Классификатор алгебры: Линейные уравнения и неравенства, Область определения неравенства

Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 4 правая круглая скобка умножить на \log}_3x плюс 4 левая круглая скобка 10x плюс 25 правая круглая скобка .$

Решение. На области определения логарифмов верна формула $логарифм по основанию a b умножить на логарифм по основанию b d = логарифм по основанию a d.$ Применим ее к обеим частям неравенства и воспользуемся методом рационализации:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 4 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 10x плюс 25 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 10x плюс 25 правая круглая скобка ,2x плюс 3 больше 0,2x плюс 3 не равно 1,3x плюс 4 больше 0,3x плюс 4 не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в квадрате правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 10x плюс 25 правая круглая скобка \leqslant0,x больше минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ,x не равно минус 1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 3x в квадрате минус 10x минус 25, знаменатель: 7 минус x минус 1 конец дроби \leqslant0,7 минус x больше 0,3x в квадрате больше 0,x больше минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ,x не равно минус 1 конец системы . равносильно$ $равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 10x плюс 25 правая круглая скобка ,2x плюс 3 больше 0,2x плюс 3 не равно 1,3x плюс 4 больше 0,3x плюс 4 не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3x в квадрате правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 10x плюс 25 правая круглая скобка \leqslant0,x больше минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ,x не равно минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 3x в квадрате минус 10x минус 25, знаменатель: 7 минус x минус 1 конец дроби \leqslant0,7 минус x больше 0,3x в квадрате больше 0,x больше минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ,x не равно минус 1 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: 6 минус x конец дроби \leqslant0, минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше 7,x не равно 0,x не равно минус 1 конец системы . равносильно совокупность выражений минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше минус 1, минус 1 меньше x меньше 0,0 меньше x\leqslant5,6 меньше x меньше 7. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 6;7 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

542041

$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 6;7 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 309 (часть 2)

Классификатор алгебры: Линейные уравнения и неравенства, Область определения неравенства

Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	542041	$левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;5 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 6;7 правая круглая скобка .$