РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д18 C7 № 535429 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 306 (часть 2)

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Два натуральных числа a и b таковы, что если к десятичной записи числа приписать справа десятичную запись числа b, то получится число, большее произведения a и b на 32.

а)  Приведите пример таких чисел a и b

б)  Может ли число b быть двухзначным?

в)  Найдите все числа a и b, удовлетворяющие условию задачи.

Решение. Пусть число b содержит k цифр. Тогда, приписывая b после a, получим число $a10 в степени k плюс b,$ причем по условию $a10 в степени k плюс b=ab плюс 32.$ Ясно, что $b меньше 10 в степени k ,$ поэтому $a10 в степени k больше ab,$ и, значит, $b меньше 32.$ Поэтому либо $k=1,$ либо $k=2.$

Если $k=1,$ получаем $10a плюс b=ab плюс 32,$ откуда $ab минус 10a минус b плюс 10 плюс 22=0.$ Тогда $левая круглая скобка b минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка = минус 22,$ при этом число $b минус 10 принадлежит левая квадратная скобка минус 10; минус 1 правая квадратная скобка$ и является делителем 22. Значит, $b=8$ или $b=9$ и, соответственно, $a=12$ или $a=23.$ Действительно, $12 умножить на 8 плюс 32=128$ и $23 умножить на 9 плюс 32=239.$

Если $k=2$ (мы начинаем решать пункт б)), то $100a плюс b=ab плюс 32,$ откуда $ab минус 100a минус b плюс 100 минус 68=0,$ то есть $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 100 правая круглая скобка =68.$ Это невозможно, поскольку $a минус 1 больше или равно 0,$ $b минус 100 меньше 0.$

Приведенным рассуждением найдены все искомые числа  — пункт в) решен.

Ответ: а) а  =  12, b  =  8; б) нет; в) а  =  12, b  =  8 или а  =  23, b  =  9.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) а  =  12, b  =  8; б) нет; в) а  =  12, b  =  8 или а  =  23, b  =  9.

535429

а) а  =  12, b  =  8; б) нет; в) а  =  12, b  =  8 или а  =  23, b  =  9.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 306 (часть 2)

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	535429	а) а  =  12, b  =  8; б) нет; в) а  =  12, b  =  8 или а  =  23, b  =  9.