РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 533829 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 305 (часть 2)

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка синус x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 плюс корень из 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка } минус 1 = 0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 2 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Сделаем замену $t=2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка$ и преобразуем уравнение:

$t в квадрате умножить на 4 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби умножить на t минус 1=0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби минус дробь: числитель: 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби умножить на t минус 1=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби минус левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка t минус 1=0 равносильно$ $t в квадрате умножить на 4 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби умножить на t минус 1=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби минус дробь: числитель: 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби умножить на t минус 1=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби минус левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка t минус 1=0 равносильно$

$равносильно t в квадрате минус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка t минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно t в квадрате минус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка t плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента . конец совокупности .$ $равносильно t в квадрате минус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка t минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно t в квадрате минус левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка t плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t= минус 1,t= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента . конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = минус 1 ,2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности . равносильно 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента равносильно$
$равносильно синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности k принадлежит Z. }.$ $совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = минус 1 ,2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности . равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента равносильно синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности k принадлежит Z. }.$

б)   Корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 2 правая квадратная скобка ,$ отберём с помощью единичной окружности. Заметим, что $Пи больше 3,$ тогда $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ а $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби больше 2.$ Подходит только корень $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: a) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

533829

a) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 305 (часть 2)

Методы алгебры: Введение замены, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	533829	a) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$