РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д16 C5 № 532959 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 304 (часть 2)

Методы алгебры: Целочисленные уравнения в финансовой математике

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.12.7* Разные задачи с прикладным содержанием

Сложные практические задачи. Практические задачи

За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5% в месяц, затем $целая часть: 11, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 9 \%,$ потом $целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 7 \%$ и, наконец, 12% в месяц. Известно, что под действием каждой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 180%. Определите срок хранения вклада.

Решение. Пусть ставки действовали a, b, c, d месяцев соответственно, а размер вклада составлял N. Тогда получаем:

$N умножить на левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка в степени a умножить на левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка в степени b умножить на левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби правая круглая скобка в степени c умножить на левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка в степени d =2,8N.$

Преобразуем суммы в неправильные дроби и умножим на знаменатели:

$левая круглая скобка дробь: числитель: 21, знаменатель: 20 конец дроби правая круглая скобка в степени a умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 10, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка в степени b умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 15, знаменатель: 14 конец дроби правая круглая скобка в степени c умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 28, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в степени d = дробь: числитель: 14, знаменатель: 5 конец дроби ,$

$5 умножить на 21 в степени a умножить на 10 в степени b умножить на 15 в степени c умножить на 28 в степени d =14 умножить на 20 в степени a умножить на 9 в степени b умножить на 14 в степени c умножить на 25 в степени d ,$

$2 в степени левая круглая скобка b плюс 2d правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка a плюс c правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка b плюс c плюс 1 правая круглая скобка умножить на 7 в степени левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 2a плюс c плюс 1 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2b правая круглая скобка умножить на 5 в степени левая круглая скобка a плюс 2d правая круглая скобка умножить на 7 в степени левая круглая скобка c плюс 1 правая круглая скобка .$

Поскольку каждое натуральное число с точностью до порядка сомножителей раскладывается в произведение простых множителей единственным образом, имеем:

$левая фигурная скобка \beginaligned b плюс 2d=2a плюс c плюс 1, новая строка a плюс c=2b, новая строка b плюс c плюс 1=a плюс 2d, новая строка a плюс d=c плюс 1. \endaligned.$

Решая эту систему, получим a  =  2, b  =  d  =  3, c  =  4. Значит, срок хранения вклада 12 месяцев.

Ответ: 12 месяцев.

Примечание.

Рекомендуем сравнить эту задачу и ей аналогичную 635568 с более простыми 620478, 620778 и более сложной задачей 506948 на ту же идею.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: – неверный ответ из-за вычислительной ошибки; – верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: 12 месяцев.

532959

12 месяцев.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 304 (часть 2)

Методы алгебры: Целочисленные уравнения в финансовой математике

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.12.7* Разные задачи с прикладным содержанием

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	532959	12 месяцев.