РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 532656 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 303 (часть 2)

Классификатор алгебры: Область определения уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному, Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрия и иррациональности

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 4 синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка плюс 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: синус x конец аргумента конец дроби =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; 4 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поскольку $синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = минус косинус x,$ при условии $синус x больше 0$ имеем:

$минус 4 косинус x левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка плюс 3 = 0 равносильно 4 косинус в квадрате x минус 4 косинус x минус 3 = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .$ $минус 4 косинус x левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка плюс 3 = 0 равносильно$
$равносильно 4 косинус в квадрате x минус 4 косинус x минус 3 = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .$

Корни первой серии не удовлетворяют условию положительности синуса, поэтому решением уравнения являются только числа $x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Разность между соседними корнями в серии $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k$ равна 2π. Поэтому на отрезке $левая квадратная скобка Пи ; 4 Пи правая квадратная скобка ,$ имеющем длину 3π, лежит ровно одно число этой серии. Это число $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи = дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

532656

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 303 (часть 2)

Методы алгебры: Замена переменной, Сведение к однородному, Формулы приведения

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	532656	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$