РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 532281 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 302 (часть 2)

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Однородные тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы половинного аргумента

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрия и иррациональности

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 синус конец аргумента в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 минус косинус x правая круглая скобка = минус синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 5 косинус x.$

б)  Укажите корни этого уравнения принадлежащие отрезку $совокупность выражений минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;2 Пи конец совокупности правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Заметим, что $1 минус косинус x = 2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ,$ получим в левой части

$корень из: начало аргумента: 2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента левая круглая скобка 1 минус косинус x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 4 синус в степени 4 дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента =2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби .$

Далее, используя формулы $минус синус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка = синус x,$ $синус x = 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $косинус x = косинус в квадрате { дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус синус в квадрате { дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби ,$ перейдем к половинному аргументу в правой части и сведем уравнение к однородному тригонометрическому второй степени:

$2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = синус x минус 5 косинус x равносильно 2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 5 левая круглая скобка косинус в квадрате { дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус синус в квадрате { дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно$ $2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = синус x минус 5 косинус x равносильно$
$равносильно 2 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 5 левая круглая скобка косинус в квадрате { дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус синус в квадрате { дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 3 синус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 5 косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно 3 тангенс в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 тангенс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 5=0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений тангенс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =1, тангенс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус 2 арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $равносильно совокупность выражений тангенс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =1, тангенс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = минус арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус 2 арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности, подходят $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби и 2 Пи минус 2 арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, минус 2 арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , 2 Пи минус 2 арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

532281

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, минус 2 арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , 2 Пи минус 2 арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 302 (часть 2)

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Однородные тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы половинного аргумента

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	532281	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, минус 2 арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , 2 Пи минус 2 арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$