РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 532054 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 301

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Неравенства смешанного типа, Область определения неравенства, Рациональные неравенства

Методы алгебры: Группировка, Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство: $дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: \log _5 минус xx конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 5x минус 4 правая круглая скобка умножить на \log _x левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка .$

Решение. Перейдём к основанию $5 минус x,$ разложим квадратный трёхчлен на множители, воспользуемся методом рационализации и методом интервалов:

$дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка x конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 5x минус 4, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка x конец дроби равносильно дробь: числитель: x в квадрате минус 5x плюс 4, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка x конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка x конец дроби \leqslant0 равносильно$

$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 5 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,5 минус x больше 0,x больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,0 меньше x меньше 5 конец системы . равносильно система выражений x не равно 1,x не равно 4,0 меньше x меньше 5 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше 4,4 меньше x меньше 5. конец совокупности .$ $равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 5 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,5 минус x больше 0,x больше 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,0 меньше x меньше 5 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x не равно 1,x не равно 4,0 меньше x меньше 5 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше 4,4 меньше x меньше 5. конец совокупности .$ $равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 5 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,5 минус x больше 0,x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,0 меньше x меньше 5 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x не равно 1,x не равно 4,0 меньше x меньше 5 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше 4,4 меньше x меньше 5. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4;5 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

532054

$левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4;5 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 301

Методы алгебры: Группировка, Метод интервалов, Рационализация неравенств. Логарифмы

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	532054	$левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4;5 правая круглая скобка .$