РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В контейнер упакованы комплектующие изделия трех типов. Стоимость и вес изделия составляют 400 тыс. руб. и 12 кг для первого типа, 500 тыс. руб. и 16 кг для второго типа, 600 тыс. руб. и 15 кг для третьего типа. Общий вес комплектующих равен 326 кг. Определите минимальную и максимальную возможную суммарную стоимость находящихся в контейнере комплектующих изделий.

Решение. Пусть в контейнере находятся x изделий первого типа, y изделий второго типа и z изделий третьего типа, тогда верно равенство

$12x плюс 16y плюс 15z=326.$      (*)

Правая часть полученного уравнения делится на 2, значит, и левая часть должна делиться на 2. Поэтому z  — чётное число. Кроме того, заметим, что $дробь: числитель: 600, знаменатель: 15 конец дроби больше дробь: числитель: 400, знаменатель: 12 конец дроби больше дробь: числитель: 500, знаменатель: 16 конец дроби ,$ значит, изделия третьего типа имеют самую большую удельную цену (цена на 1 кг изделия), а изделия второго типа  — самую маленькую.

Наибольшая суммарная стоимость находящихся в контейнере изделий будет соответствовать решению уравнения (*) в натуральных числах при наибольшем количестве самых дорогих изделий z. Если $z\geqslant22,$ то $15z\geqslant330,$ а значит, уравнение (*) не имеет решений в натуральных числах. Будем проверять чётные числа, меньшие 22, в порядке убывания. Если $z=20,$ то $12x плюс 16y=26$   — это уравнение не имеет решений в натуральных числах. Если $z=18,$ то $12x плюс 16y=56,$ полученное уравнение имеет единственное решение $x=y=2.$ Следовательно, наибольшая суммарная стоимость находящихся в контейнере изделий равна

$S_max = 400 умножить на 2 плюс 500 умножить на 2 плюс 600 умножить на 18=12600$ тыс. руб.

Наименьшая суммарная стоимость находящихся в контейнере изделий будет соответствовать решению уравнения (*) в натуральных числах при наибольшем количестве самых дешёвых изделий y. Если $y\geqslant20,z\geqslant2$ то $16y плюс 15z\geqslant340,$ а значит, уравнение (*) не имеет решений в натуральных числах. Проверим значения y, меньшие 20. Если $y=19,$ то $12x плюс 15z=22$   — нет решений в натуральных числах. Если $y=18,$ то $12x плюс 15z=38$   — нет решений в натуральных числах. Если $y=17,$ то $12x плюс 15z=54,$   — есть единственное решение $x=z=2.$ Следовательно, наименьшая суммарная стоимость находящихся в контейнере изделий равна

$S_min = 400 умножить на 2 плюс 500 умножить на 17 плюс 600 умножить на 2=10500$ (тыс. руб.)

Ответ: 10,5 млн руб. и 12,6 млн руб.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

№ п/п	№ задания	Ответ
1	531832	10,5 млн руб. и 12,6 млн руб.

Ключ