В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через диагональ BD1 проведена плоскость α, параллельная прямой AC.
а) Докажите, что прямая пересечения плоскости α с плоскостью основания A1B1C1D1 параллельна прямой A1C1.
б) Найдите угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если AB = 5, BC = 12, CC1 = 10.
а) Прямая A1C1 параллельна прямой AC. Плоскость A1B1C1D1 проходит через прямую A1C1, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку D1, значит, прямая l пересечения секущей плоскости α с плоскостью A1B1C1D1 параллельна прямой A1C1.
б) Пусть B1M — перпендикуляр, опущенный из вершины B1 на прямую l. Тогда B1M — ортогональная проекция наклонной BM на плоскость A1B1C1D1. По теореме о трёх перпендикулярах прямые BM и l перпендикулярны, поэтому угол BMB1 — линейный угол двугранного угла, образованного секущей плоскостью α и плоскостью A1B1C1D1.
Отрезок B1M вдвое больше высоты B1H прямоугольного треугольника A1B1C1, проведённой из вершины прямого угла, поэтому
Из прямоугольного треугольника BMB1 находим, что
Ответ: б) 