PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Запишем уравнение в виде
и сделаем замены 
и 
Тогда уравнение примет вид
(⁎)
Заметим, что 
Значит, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение, если уравнение (⁎) имеет хотя бы одно решение на отрезке 
Построим график уравнения (⁎) на отрезке 
в системе координат tOb (см. рис. выше). Уравнение (⁎) имеет корни на отрезке при 
Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при 
Решим это двойное неравенство:
Изложим это решение иначе.
Пусть 
(⁎), тогда исходное уравнение можно записать в виде 
или
(⁎⁎).
Оценим левые части уравнений (⁎) и (⁎⁎).
В силу цепочки соотношений
графиком уравнения (⁎) является полуокружность с центром в точке O(2; 0) и радиусом 2. Это уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда 
(см. рис.).
При найденных значениях t справедливы оценки
Чтобы уравнение (⁎⁎) имело решения, его правая часть должна лежать в тех же границах:
откуда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |