РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 528987 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 288

Классификатор алгебры: Область определения уравнения, Показательные уравнения, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения. Другие уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента в степени левая круглая скобка синус в квадрате x плюс корень из: начало аргумента: косинус x конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате плюс 2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс корень из: начало аргумента: косинус x конец аргумента правая круглая скобка =3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: косинус x конец аргумента правая круглая скобка .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 4 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. a)  Преобразуем исходное уравнение:

$2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x плюс корень из: начало аргумента: косинус x конец аргумента правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс корень из: начало аргумента: косинус x конец аргумента правая круглая скобка =3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: косинус x конец аргумента правая круглая скобка равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: косинус x конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно система выражений 2 в степени левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка минус 3=0, косинус x больше или равно 0. конец системы .$ $2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x плюс корень из: начало аргумента: косинус x конец аргумента правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс корень из: начало аргумента: косинус x конец аргумента правая круглая скобка =3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: косинус x конец аргумента правая круглая скобка равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: косинус x конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно система выражений 2 в степени левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка минус 3=0, косинус x больше или равно 0. конец системы .$

Сделаем замену $t=2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка$ и решим полученное уравнение:

$дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби плюс t минус 3=0 равносильно t в квадрате минус 3t плюс 2=0 равносильно совокупность выражений t= 1, t= 2. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$система выражений совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =1,2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =2, конец системы . косинус x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений косинус в квадрате x = 0, косинус в квадрате x= 1, конец системы . косинус x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений косинус x = 0, косинус x= \pm1, конец системы . косинус x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x=2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $система выражений совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =1,2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =2, конец системы . косинус x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений косинус в квадрате x = 0, косинус в квадрате x= 1, конец системы . косинус x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений косинус x = 0, косинус x= \pm1, конец системы . косинус x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x=2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $система выражений совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =1,2 в степени левая круглая скобка косинус в квадрате x правая круглая скобка =2, конец системы . косинус x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений косинус в квадрате x = 0, косинус в квадрате x= 1, конец системы . косинус x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений косинус x = 0, косинус x= \pm1, конец системы . косинус x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x=2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Произведем отбор корней при помощи единичной окружности (см. рис.) Подходят корни $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус 4 Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус 4 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

528987

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус 4 Пи .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 288

Методы алгебры: Введение замены, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	528987	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , минус 4 Пи .$