РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 528519 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 286

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство: $2 логарифм по основанию левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x в квадрате правая круглая скобка 2 меньше 1.$

Решение. Пусть $t= логарифм по основанию 2 x в квадрате ,$ решим неравенство $2 логарифм по основанию t 2 меньше 1.$ Используя свойство логарифма $логарифм по основанию a b= дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию b a конец дроби ,$ перейдём к основанию 2, получим:

$дробь: числитель: 2, знаменатель: логарифм по основанию 2 t конец дроби меньше 1 равносильно дробь: числитель: 2 минус логарифм по основанию 2 t, знаменатель: логарифм по основанию 2 t конец дроби меньше 0 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 t меньше 0, логарифм по основанию 2 t больше 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше t меньше 1,t больше 4. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменой:

$совокупность выражений логарифм по основанию 2 x в квадрате больше 4,0 меньше логарифм по основанию 2 x в квадрате меньше 1 конец совокупности . \underset2 больше 1\mathop равносильно совокупность выражений x в квадрате больше 2 в степени 4 ,2 в степени 0 меньше x в квадрате меньше 2 в степени 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 16 больше 0, 1 меньше x в квадрате меньше 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше минус 4, минус корень из 2 меньше x меньше минус 1,1 меньше x меньше корень из 2 ,x больше 4. конец совокупности .$ $совокупность выражений логарифм по основанию 2 x в квадрате больше 4,0 меньше логарифм по основанию 2 x в квадрате меньше 1 конец совокупности . \underset2 больше 1\mathop равносильно совокупность выражений x в квадрате больше 2 в степени 4 ,2 в степени 0 меньше x в квадрате меньше 2 в степени 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x в квадрате минус 16 больше 0, 1 меньше x в квадрате меньше 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше минус 4, минус корень из 2 меньше x меньше минус 1,1 меньше x меньше корень из 2 ,x больше 4. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус корень из 2 ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; корень из 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

528519

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус корень из 2 ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; корень из 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 286

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	528519	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус корень из 2 ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; корень из 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$