PDF-версии: 
Высоты равнобедренного остроугольного треугольника ABC, в котором AB = BC, пересекаются в точке O. Отрезок AO = 5, а длина высоты AD равна 8.
а) Докажите, что длина стороны AC треугольника ABC равна высоте, опущенной на нее из вершины B.
б) Найдите площадь треугольника ABC.
Решение. а) Пусть точка H — середина AC, точка E — проекция D на AC. По обобщённой теореме Фалеса, параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки. Поэтому
Положим 
тогда 
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе равна, среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: 
Прямоугольные треугольники треугольники BHC и DEС подобны, поскольку имеют общий острый угол, поэтому 
откуда 
что и требовалось доказать.
б) Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ADE: 
По условию, 
откуда 
Тогда:
Ответ: б) 40.
Приведём другое решение.
а) Пусть точка H — середина AC, точка M — проекция D на BH. Треугольники AOH и DOM подобны, следовательно, 
откуда 
Треугольники BMD и BHC подобны, следовательно,
откуда 
Треугольник ABD — прямоугольный, тогда
Значит, 
Треугольник ADC — прямоугольный, тогда:
Таким образом, 
б) Найдём площадь треугольника ABC:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |