РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 528341 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 285

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус 4 косинус в квадрате x правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус 16 косинус в степени 4 x правая круглая скобка =2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 минус 4 косинус в квадрате x правая круглая скобка конец дроби .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. a)  Пусть $4 косинус в квадрате x=t,$ тогда имеем:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 9 минус t в квадрате правая круглая скобка =2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка правая круглая скобка =2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка 2 равносильно$

$равносильно 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка =2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка дробь: числитель: 3 плюс t, знаменатель: 2 конец дроби =1 равносильно система выражений дробь: числитель: 3 плюс t, знаменатель: 2 конец дроби =3 минус t,3 минус t больше 0,3 минус t не равно 1 конец системы . равносильно t=1.$ $равносильно 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка =2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка дробь: числитель: 3 плюс t, знаменатель: 2 конец дроби =1 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 3 плюс t, знаменатель: 2 конец дроби =3 минус t,3 минус t больше 0,3 минус t не равно 1 конец системы . равносильно t=1.$

Вернёмся к исходной переменной:

$4 косинус в квадрате x=1 равносильно косинус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$ $4 косинус в квадрате x=1 равносильно косинус x=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$

б)  При помощи единичной окружности отберём корни, лежащие на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$ Получаем числа $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

528341

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$