РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 527635 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 280

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Логарифмические неравенства первой и второй степени

Решите неравенство: $2 логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка \geqslant1.$

Решение. Найдем область определения неравенства:

$система выражений x минус 2 больше 0,x в квадрате минус x минус 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений x больше 2, совокупность выражений x меньше минус 1,x больше 2 конец системы . конец совокупности . равносильно x больше 2.$

На найденной области определения

$логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка ,$ $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка ,$

откуда имеем:

$2 логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка \geqslant1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant1 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$

$\underset дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 1\mathop равносильно x минус 2 меньше или равно дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2x минус 4 меньше или равно x плюс 1 равносильно x\leqslant5.$ $\underset дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 1\mathop равносильно x минус 2 меньше или равно дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2x минус 4 меньше или равно x плюс 1 равносильно x\leqslant5.$

Учитывая, что $x больше 2,$ получаем, что $2 меньше x меньше или равно 5.$

Ответ: $левая круглая скобка 2; 5 правая квадратная скобка .$

Примечание.

Отметим, что в общем случае справедливо следующее представление логарифма произведения:

$логарифм по основанию c левая круглая скобка ab правая круглая скобка = система выражений логарифм по основанию c a плюс логарифм по основанию c b, если a больше 0, b больше 0, логарифм по основанию c левая круглая скобка минус a правая круглая скобка плюс логарифм по основанию c левая круглая скобка минус b правая круглая скобка , если a меньше 0, b меньше 0. конец системы .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка 2; 5 правая квадратная скобка .$

527635

$левая круглая скобка 2; 5 правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 280

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527635	$левая круглая скобка 2; 5 правая квадратная скобка .$