РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д17 C6 № 527617 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 277

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Сложные задачи с параметром. Системы с параметром

При каких значениях параметра a система уравнений

$система выражений ax в квадрате плюс 4ax минус y плюс 7a плюс 1=0,ay в квадрате минус x минус 2ay плюс 4a минус 2=0 конец системы .$

имеет единственное решение?

Решение. Преобразуем систему

$левая фигурная скобка \beginaligned новая строка a левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус y плюс 3a плюс 1=0, новая строка a левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус x плюс 3a минус 2=0 \endaligned}. равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка a левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка плюс 3a=0, новая строка a левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 3a=0. \endaligned}.$

Обозначая $X=x плюс 2,$ $Y=y минус 1$ (это не влияет на число решений), получаем:

$левая фигурная скобка \beginaligned новая строка aX в квадрате минус Y плюс 3a=0 новая строка aY в квадрате минус X плюс 3a=0 \endaligned}.$

Очевидно, если пара чисел $левая круглая скобка X,Y правая круглая скобка$ подходит в это решение, то и пара $левая круглая скобка Y,X правая круглая скобка$ в него подходит. Поэтому для единственности решения необходимо, чтобы в этом решении было $X=Y.$ Рассмотрим уравнение $aX в квадрате минус X плюс 3a=0.$ Если оно имеет два корня $t_1$ и $t_2,$ то система имеет минимум два решения $левая круглая скобка t_1;t_1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка t_2;t_2 правая круглая скобка ,$ эта ситуация нас не устраивает. Значит, либо $a=0$ (тогда уравнение не квадратное), либо $1 минус 12a в квадрате =0,$ $a=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби$ (дискриминант равен нулю и уравнение имеет лишь один корень). Осталось проверить, будет ли при таких a решение системы единственным. Если $a=0,$ система принимает вид:

$левая фигурная скобка \beginaligned новая строка минус Y=0 новая строка минус X=0 \endaligned}.$

У нее действительно одно решение.

При $a=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби$ вычтем уравнения друг из друга. Получим:

$a левая круглая скобка X в квадрате минус Y в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка X минус Y правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка X минус Y правая круглая скобка левая круглая скобка aX плюс aY плюс 1 правая круглая скобка =0.$

Если $X=Y,$ то система сведется к уравнению $aX в квадрате минус X плюс 3a=0,$ у которого, как мы знаем, в этом случае один корень. Если же $aX плюс aY плюс 1=0,$ то домножим первое уравнение системы на a и сделаем подстановку $aX= минус 1 минус aY.$ Имеем:

$a в квадрате X в квадрате минус aY плюс 3a в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка 1 плюс aY правая круглая скобка в квадрате минус aY плюс 3a в квадрате =0 равносильно a в квадрате Y в квадрате плюс aY плюс 1 плюс 3a в квадрате =0,$ $a в квадрате X в квадрате минус aY плюс 3a в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка 1 плюс aY правая круглая скобка в квадрате минус aY плюс 3a в квадрате =0 равносильно$
$равносильно a в квадрате Y в квадрате плюс aY плюс 1 плюс 3a в квадрате =0,$

$D=a в квадрате минус 4a в квадрате левая круглая скобка 1 плюс 3a в квадрате правая круглая скобка = минус 3a в квадрате минус 12a в степени 4 меньше 0,$

поэтому таких решений нет. Значит, у системы есть единственное решение, полученное в предыдущем случае.

Ответ: $a=0;$ $a=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Ответ: $a=0;$ $a=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$

527617

$a=0;$ $a=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 277

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527617	$a=0;$ $a=\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$