РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д19 C7 № 527611 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 276

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства

Задуман набор последовательных (идущих подряд) натуральных чисел, сумма которых больше 231 и меньше 245.

а)  Может ли в наборе быть 13 чисел?

б)  Может ли в наборе быть 14 чисел?

в)  Какое наибольшее количество чисел, которые удовлетворяют заданному условию, может быть в наборе?

Решение. а)  Да, например $12 плюс 13 плюс \ldots плюс 24=234.$

б)  Если первое число равно x, то последнее $x плюс 13,$ по формуле для суммы арифметической прогрессии находим сумму всех чисел:

$дробь: числитель: 2x плюс 13, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 14=7 левая круглая скобка 2x плюс 13 правая круглая скобка .$

Среди чисел от 232 до 244 только 238 делится на 7, но оно дает $2x плюс 13=34,$ что невозможно.

в)  Если первое число равно x, а всего чисел $n плюс 1,$ то последнее равно $x плюс n$ и сумма всех чисел равна

$дробь: числитель: 2x плюс n, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка x плюс дробь: числитель: n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Сразу заметим, что при $n больше или равно 21$ это выражение не меньше

$дробь: числитель: 21 умножить на 22, знаменатель: 2 конец дроби плюс 21 умножить на 1=252 больше 245,$

поэтому 21 и больше чисел использовать нельзя.

Если $n=20,$ то сумма равна $21x плюс 210,$ Значит, $21x принадлежит левая круглая скобка 21;35 правая круглая скобка ,$ что невозможно  — в этом промежутке нет чисел, кратных 21.

Если $n=19,$ то сумма равна $20x плюс 190,$ Значит, $20x принадлежит левая круглая скобка 41;55 правая круглая скобка ,$ что невозможно  — в этом промежутке нет чисел, кратных 20.

Если $n=18,$ то сумма равна $19x плюс 171,$ Значит, $20x принадлежит левая круглая скобка 60;74 правая круглая скобка ,$ что невозможно  — в этом промежутке нет чисел, кратных 19.

А если $n=17$ и $x=5,$ то получим $18x плюс 153=90 плюс 153=243 принадлежит левая круглая скобка 231;245 правая круглая скобка .$

Ответ: а) да; б) нет; в) 18.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) да; б) нет; в) 18.

527611

а) да; б) нет; в) 18.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 276

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527611	а) да; б) нет; в) 18.