РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 527607 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 276

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство: $логарифм по основанию 2 в квадрате дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 2x минус 1 конец дроби плюс логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 2x минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби \leqslant0.$

Решение. Обозначим $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 2x минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби =t,$ тогда $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 2x минус 1 конец дроби = минус t.$ Неравенство примет вид $t в квадрате плюс t меньше или равно 0,$ откуда $t принадлежит левая квадратная скобка минус 1;0 правая квадратная скобка . Далее:$

$логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 2x минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби принадлежит левая квадратная скобка минус 1;0 правая квадратная скобка равносильно дробь: числитель: 2x минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая квадратная скобка .$

Решим теперь два неравенства:

$дробь: числитель: 2x минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 4x минус 2 минус левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 3x минус 3, знаменатель: 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1; бесконечность правая круглая скобка ;$ $дробь: числитель: 2x минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 4x минус 2 минус левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3x минус 3, знаменатель: 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 1; бесконечность правая круглая скобка ;$

$дробь: числитель: 2x минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: 2x минус 1 минус левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус 1;2 правая квадратная скобка .$

Поэтому общий ответ будет $x принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Обоснованно получен ответ, неверный из-за недочета в решении или вычислительной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2