РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 527589 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 274

Методы алгебры: Введение замены, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $6 тангенс в квадрате x минус 2 косинус в квадрате x= косинус 2x.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. Преобразуем уравнение:

$6 тангенс в квадрате x минус 2 косинус в квадрате x=2 косинус в квадрате x минус 1 равносильно$
$равносильно 6 дробь: числитель: синус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 4 косинус в квадрате x плюс 1=0 равносильно$

$равносильно 6 умножить на дробь: числитель: 1 минус косинус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 4 косинус в квадрате x плюс 1=0.$

Обозначив $t= косинус в квадрате x,$ получим:

$дробь: числитель: 6 минус 6t, знаменатель: t конец дроби минус 4t плюс 1=0 равносильно 6 минус 6t минус 4t в квадрате плюс t=0 равносильно$ $дробь: числитель: 6 минус 6t, знаменатель: t конец дроби минус 4t плюс 1=0 равносильно$
$равносильно 6 минус 6t минус 4t в квадрате плюс t=0 равносильно$

$равносильно 4t в квадрате плюс 5t минус 6=0 равносильно левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 4t минус 3 правая круглая скобка =0.$

Перейдём к основной переменной:

$совокупность выражений косинус в квадрате x= минус 2, левая круглая скобка невозможно правая круглая скобка косинус в квадрате x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k;k принадлежит Z .$ $совокупность выражений косинус в квадрате x= минус 2, левая круглая скобка невозможно правая круглая скобка косинус в квадрате x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно$
$равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k;k принадлежит Z .$ $совокупность выражений косинус в квадрате x= минус 2, левая круглая скобка невозможно правая круглая скобка косинус в квадрате x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно$
$равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k;k принадлежит Z .$

б)  С помощью тригонометрического круга отберем корни. На указанном промежутке лежат $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527589

а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 274

Методы алгебры: Введение замены, Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527589	а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$